فراکتال ها به ما چه می گویند؟

بَرخال یا فرکتال، یا فراکتال (Fractal) ساختاری هندسی است که با بزرگ کردن هر بخش از این ساختار به نسبت معین، همان ساختار نخستین به دست آید. به گفتاری دیگر برخال ساختاری است که هر بخش از آن با کل‌اش همانند است. برخال از دور و نزدیک یکسان دیده می‌شود. به این ویژگی خودهمانندی گویند. برخال‌ها یکی از ابزارهای مهم در گرافیک رایانه‌ای هستند.

همه چیز درباره هنر نقاشی برخال (فراکتال آرت ¦ Fractal art)

بَرخال یا فرکتال، یا فراکتال (Fractal) ساختاری هندسی است که با بزرگ کردن هر بخش از این ساختار به نسبت معین، همان ساختار نخستین به دست آید. به گفتاری دیگر برخال ساختاری است که هر بخش از آن با کل‌اش همانند است. برخال از دور و نزدیک یکسان دیده می‌شود. به این ویژگی خودهمانندی گویند. برخال‌ها یکی از ابزارهای مهم در گرافیک رایانه‌ای هستند.

نام‌گذاری
فرکتال fractal از واژه لاتین fractus یا fractum به معنی شکسته گرفت شده‌است که بیانگر یکی از شناسه‌های اصلی برخال -بخش‌شدنی- است. واژه فرکتال به معنای سنگی است که به گونه نامنظم شکسته شده باشد.

پیشنهاد فرهنگستان زبان فارسی
فرهنگستان زبان فارسی که با نام گذاری‌های عجیب معروف است برای هنر فراکتال واژه «برخال» را برگزید که از واژه برخ به معنی بخش و پسوند -ال (مانند چنگال) پدید آمده‌است تا حدودی با واژه فراکتال نیز هم وزن است.

کشف
واژه فرکتال در سال 1976 توسط ریاضیدان فرانسوی به نام بنوا مندلبرو وارد دنیای ریاضی شد.. مندل برات هنگامی که پیرامون طول سواحل انگلیس می‌پژوهید دریافت که هرگاه با مقیاس بزرگ این طول اندازه گرفته شود کمتر از زمانی است که مقیاس کوچک‌تر باشد.

ویژگی شکل برخال
– بسیار دور از پیش‌بینی است.
– فرگشت (تکامل) هم‌زمان دارد.
– دارای جایگزینی بهینه است.
– ریشه در قوانین ساده دارد.
– در شکل‌گیری گونه از تکرار بهره‌می‌جوید.
– سامانه‌ای تو در تو است.
– ریختهای اقلیدسی با استفاده از توابع ایستا ساخته می‌شوند ولی ریختهای برخال با فرایندهای پویا ساخته می‌شوند. فرایندهای پویا، فرایندهایی فراکتال ها به ما چه می گویند؟ هستند که دارای حافظه می‌باشند و رفتار آن‌ها به گذشته بستگی دارد.
– دارای ویژگی خود همانندی است.
– هر فرایند تکراری و پویا باعث ایجاد ساختارهای پیچیده برخال نمی‌شود. سازوکار فرآوری چنین ساختارهای پویایی، آشوب است. در حقیقت، برخال نگاره‌ای ریاضی از آشوب است.

هندسه برخال
برخال از دید هندسی به چیزی گویند که دارای سه ویژگی زیر باشد:
– دارای ویژگی خودهمانندی باشد یا به انگلیسی self-similar باشد.
– در مقیاس خرد بسیار پیچیده باشد.
– بعد آن یک عدد صحیح نباشد مثلاً 1٫5

محاسبه بعد برخال‌ها
بعد خط یک، بعد صفحه دو و بعد فضا سه است. برخال‌ها برخلاف همهٔ اینها بعد صحیح ندارند. برای نمونه بعد یک برخال می‌تواند 1٫2 باشد که بدین چم از خط پیچیده‌تر و از صفحه سادتر است. بعد برخال‌ها از یک سری فرمول‌های لگاریتمی بدست می‌آیند.

سیستم ساختاری تکرار
این سیستم که دارای علامت اختصاری IFS – Iterated Function System – است، سیستم تکرار را مطرح می‌کند که به نوعی پایهٔ هندسه فرکتال است. تکرار یکی از راه‌های ایجاد فرم در معماری است اما در فرکتال این فرم بایستی دارای مشخصات هندسی که در قسمت هندسه فرکتال مطرح شد را دارا باشد. به‌طور کلی این تکرار می‌تواند از کنار هم قرار گرفتن یک شیء بدست آید یا اینکه یک موضوع نسبت به موضوع دیگر و به‌طور متوالی کوچک شود.

خود همانندی
شیئی را دارای خاصیت خود متشابهی می‌گوییم که هر گاه قسمت‌هایی از آن با یک مقیاس معلوم، یک نمونه از کل شیئی باشد. ساده‌ترین مثال برای یک شیئ خود متشابه در طبیعت گل کلم است که هر قطعهٔ کوچک گل کلم متشابه قطعه بزرگی از آن است. همین‌طور درخت کاج یک شیئ خود متشابه است، چرا که هر یک از شاخه‌های آن خیلی شبیه یک درخت کاج است ولی در مقیاس بسیار کوچکتر. همچنین در مورد برگ سرخس نیز چنین خاصیتی وجود دارد.
رشته کوه‌ها، پشته‌های ابر، مسیر رودخانه‌ها و خطوط ساحلی نیز همگی مثالهایی از یک ساختمان خود متشابه هستند. فراکتال شکل هندسی پیچیده است که دارای جزییات مشابه در ساختار خود در مقیاسهای متفاوت می‌باشد و بی نظمی در آن از دور و نزدیک به یک اندازه است.
جسم فراکتال از دور و نزدیک یکسان دیده می‌شود. مثلاً وقتی به یک کوه نگاه می‌کنیم شکلی شبیه به یک مخروط می‌بینیم که روی آن مخروطهای کوچکتر و بی نظمی دیده می‌شود ولی وقتی نزدیک می‌شویم همین مخروطهای کوچک شبیه کوه هستند یا شاخه‌های یک درخت شبیه خود درخت هستند. البته در طبیعت نمونه‌های اجسام فراکتال فراوان است مثلاً ابرها -رودها -سرخس‌ها و حتی گل کلم از اجسام فراکتال است؛ و اگر به ساخته‌های دست بشر هم نگاه کنیم تراشه‌های سیلیکان یا مثلث سرپینسکی نیز فراکتال هستند؛ و در معماری همیشه نباید نیاز بشر را هندسه اقلیدسی تأمین کند. گسترش شهرها نمونه آشکاری از فراکتال است.

برخال‌های طبیعی
این فرم‌ها که به صورت طبیعی وجود دارند دارای ساختاری خود متشابه هستند حتی در مقیاس میکروسکپی یک‌دانه برف دارای فرمی خود متشابه است.

فرم‌های مندلبرو
مجموعه‌های مندلبرو دارای پیچیدگی خاصی هستند. زمانی که یک فرم حالتی پیچیده پیدا می‌کند یا به عبارت دیگر به عناصر خرد تشکیل دهنده کل می‌رسد، فرم‌هایی بسیار پیچیده اما در عین حال منظمی را به ما می‌دهد که در اشکال زیر و نمونه‌های پیش‌فرض و آماده در فرکتال اکسپلورر گذاشته شده‌است.

برخال در مناظر طبیعی
این فرم‌ها همان‌طور که از اسم آن‌ها پیداست دارای فرمی طبیعی هستند (عدم دستبرد دست بشر). شاید بسیار در عکاسی معماری (برای عکس از یک سوژه) به یک منظره برخورد کرده باشید که در دوردست تپه‌ها و کوه‌ها دیده می‌شوند، بد نیست بدانید که خود این منظره دارای فرمی فرکتال با هندسه فرکتال قابل حل است.

الگوهای رویش برخالی
ایده خود متشابه در اصل توسط لایبنیتس بسط داده شد. او حتی بسیاری از جزئیات را حل کرد. در سال 1872 کارل وایرشتراس مثالی از تابعی را پیدا کرد با ویژگی‌های غیر بصری که در همه جا پیوسته بود ولی در هر جا مشتق پذیر نبود. گراف این تابع اکنون برخال نامیده می‌شود. در سال 1904 هلگه فون کخ به همراه خلاصه‌ای از تعریف تحلیلی وایرشتراس، تعریف هندسی‌تری از تابع متشابه ارائه داد که حالا به برفدانه کخ معروف است. در سال 1915 واکلو سرپینسکی مثلثش را و سال بعد فرش‌اش (برخالی) را ساخت. ایده منحنیهای خود متشابه توسط پاول پیر لوی مطرح شد او در مقاله اش در سال 1938 با عنوان «سطح یا منحنیهای فضایی و سطوحی شامل بخش‌های متشابه نسبت به کل» منحنی برخالی جدیدی را توصیف کرد منحنی لوی c. گئورگ کانتور مثالی از زیرمجموعه‌های خط حقیقی با ویژگی‌های معمول ارائه داد. این مجموعه‌های کانتور اکنون به‌عنوان برخال شناخته می‌شوند. اواخر قرن نوزدهم و اوایل قرن بیستم توابع تکرار شونده در سطح پیچیده توسط هانری پوانکاره، فلیکس کلاین، پیر فاتو و گاستون جولیا شناخته شده بودند. با این وجود بدون کمک گرافیک رایانه‌ای آن‌ها نسبت به نمایش زیبایی بسیاری از اشیایی که کشف کرده بودند، فاقد معنی بودند. در سال 1960 بنوا مندلبرو تحقیقاتی را در شناخت خودهمانندی طی مقاله‌ای با عنوان «طول ساحل بریتانیا چقدر است؟ خود متشابه‌ای آماری و بعد کسری» آغاز کرد. این کارها بر اساس کارهای پیشین ریچاردسون استوار بود. در سال 1975 مندلبرو برای مشخص کردن شئی که بعد هاوسدورف-بیسکویچ آن فراکتال ها به ما چه می گویند؟ بزرگ‌تر از بعد توپولوژیک آن است کلمه «فراکتال» (برخال) را ابداع کرد. او این تعریف ریاضی را از طریق شبیه‌سازی خاص رایانه‌ای تشریح کرد.
برخال‌ها از نظر روش مطالعه به برخالهای جبری و بر خالهای احتمالاتی تقسیم می‌شوند. از طرف دیگر برخال‌ها یا خودهمانند اند self similarity یا خودناهمگرد self affinity هستند. در خودهمانندی، شکل جزء شباهت محسوسی به شکل کل دارد. این جزء، در همه جهات به نسبت ثابتی رشد می‌کند و کل را به وجود می‌آورد. اما در خودناهمگردی شکل جزء در همه جهات به نسبت ثابتی رشد نمی‌کند. مثلاً در مورد رودخانه‌ها و حوضه‌های آبریز بعد برخالی طولی متفاوت از بعد برخالی عرضی است Vx = 0. 72–0. 74 و Vy = 0. 51–0. 52 (ساپوژنیکوف و فوفولا، 1993) از این‌رو شکل حوضه آبریز کشیده‌تر از زیر حوضه‌های درون حوضه‌است. به خودهمانندی همسانگرد isotropy می‌گویند. به خود ناهمگردی ناهمسانگرد anisotropy می‌گویند.

طبقه‌بندی
برخال‌ها همچنین بر اساس خود همانندی طبقه‌بندی می‌شوند. سه نوع خود همانندی وجود دارد:
خود همانندی دقیق – این قوی‌ترین نوع خود همانندی است.
گسترش رو به رشد رویکرد تک‌برخالی (مونوفراکتالی) اخیر، داده‌ها را با مجموعه برخالی، به جای بعد منفرد برخالی توصیف می‌کند. این مجموعه طیف چندبرخالی multifractal spectrum نامیده می‌شود و روش توصیف تغییرپذیری بر اساس طیف‌سنجی چندبرخالی به آنالیز چندبرخالی معروف است (فریش و پاریسی، 1985). روش چند برخالی به اندازه خودهمانندی آماری دلالت دارد که می‌تواند به صورت ترکیبی از مجموعه‌های به‌هم تنیده برخالی مطابق با نمای مقیاس‌گذاری نمایش داده شود. ترکیبی از همه مجموعه‌های برخالی طیف چند برخالی‌ای را ایجاد می‌کند که تغییرپذیری و ناهمگنی متغیر مورد مطالعه را مشخص می‌کند. مزیت رویکرد چند برخالی این است که پارامترهای چندبرخالی می‌توانند مستقل از اندازه موضوع مورد مطالعه باشند.

کاربردها
از برخال‌ها به منظور آسان‌سازی در کارهای وابسته به مدل‌سازی پیچیدگی در زمینه‌های گوناگون علمی و مهندسی استفاده می‌شود. از زمینه‌های مهم کاربردی گزینه‌های زیر را می‌توان برشمرد:
– گرافیک رایانه‌ای
– پردازش تصاویر
– نظریهٔ موجک‌ها
– تغییر شکل پلاستیک و شکست مواد

رابطه برخال و معماری
انسانها در روزگار قدیم در طبیعت می‌زیستند و مانند انسان دوره نوین، با طبیعت بیگانه نبودند، به این رو معماریشان با نظم طبیعت بود. آن‌ها به این فرنود که در طبیعت رشد می‌یافتند، ضمیر ناخودآگاهشان نیز با نظم طبیعت- یعنی با نظم برخال- رشد میافت، در نتیجه ساخته‌هایشان نیز دارای نظم برخال می‌بود.
مطالعه هندسه باید به طراح کمک کند که به درک بهتری از جریان ریزگان (جزئیات) در پیرامون ما و جهان طبیعی دست یابد. ویژگی‌های برخالی یک آمیزه معماری در پیوستگی زنجیروار ریزگان است. این پیوستگی زنجیروار برای جذابیت معماری لازم است. هنگامی که تنومی (شخصی) به یک ساختمان نزدیک و سپس به آن وارد می‌شود همیشه باید مقیاس کوچکتر دیگری همراه با ریزگان جذاب وجود داشته باشد تا معنای کلی آمیزه را بیان کند که این یک ایده برخال است.

برخال و هنر
در هنر دوران‌های مختلف ساختارها و گونه‌ها و حتی نقاشی‌های گوناگونی را از برخال می‌بینیم. در این زمینه به ذکر 2 نمونه بسنده می‌کنیم.
برخال در هنر آفریقا
برخال را در آثار نقاشانی چون جکسون پولاک و لاری پونز

موضوع: هندسه فراکتال

مدیر ارشد انجمنهای نورآسمان تاریخ عضویت Jan 2009 نوشته ها 20,737 تشکر 0 تشکر شده 0 بار در 0 ارسال

هندسه فراکتال

واژه فراکتال مشتق از واژه لاتینی فراکتوس- به معنی سنگی که به شکل نامنظم شکسته خرد شده است- در سال ۱۹۷۵ برای اولین بار توسط بنوت مندل بروت مطرح شد. فراکتال ها شکل هایی هستند که بر خلاف شکل های هندسی اقلیدسی به هیچ وجه منظم نیستند. این شکل ها اولاً سر تاسر نامنظم اند، ثانیاً میزان بی نظمی آنها در همه مقیاسها یکسان است.

با ملاحظه اشکال موجود در طبیعت، مشخص می شود که هندسه اقلیدسی قادر به تبیین و تشریح اشکال پیچیده و ظاهراً بی نظم طبیعی نیست.
مندل بروت در سال ۱۹۷۵ اعلام کرده که ابرها به صورت کره نیستند، کوهها همانند مخروط نمی باشند، سواحل دریا دایره شکل نیستند، پوست درخت صاف نیست و صاعقه بصورت خط مستقیم حرکت نمی کند.

وقتی که به یک جسم فراکتال نزدیک می شویم، می بینیم که تکه های کوچکی از آن که از دور همچون دانه ها بی شکلی به نظر می رسید، بصورت جسم مشخص در می آید که شکلش کم و بیش مثل همان شکلی است که از دور دیده می شود. در طبیعت نمونه های فراوانی از فراکتال ها دیده می شود. درختان ، ابرها، کوهها، رودها، لبه سواحل دریا، و گل کلم ها اجسام فراکتال هستند بخش کوچکی از یک درخت که شاخه آن باشد شباهت به کل درخت دارد. این مثال را می توان در مورد ابرها، گل کلم، صاعقه و سایر اجسام فراکتال عنوان نمود.
بسیاری از عناصر مصنوع دست بشر نیز بصورت فراکتال می باشند. تراشه های سلیکان، منحنی نوسانات بازار بورس، رشد و گسترش شهرها و بالاخره مثلث سرپینسکی را می توان در این مورد مثال زد.

در علم ریاضی فراکتال یک شکل مهندسی است که پیچیده است ودارای جزئیات مشابه در ساختار خود در هر مقیاسی است.

میزان بی نظمی در آن از دور و نزدیک به یک میزان است. مثلث سرپینسکی یک مثلث متساوی الاضلاع است که نقاط وسط سرضلع آن به یکدیگر متصل شده اند. اگر این عمل در داخل مثلث های متساوی الاضلاع جدید تا بی نهایت ادامه یابد، همواره مثلث هایی حاصل می شوند که مشابه مثلث اول هستند.

هندسه ی اقلیدسی – احجام کامل کره ها و هرم ها و مکعب ها واستوانه ها- بهترین راه نشان دادن عناصر طبیعی نیستند . ابرها و کوه ها و خط ساحلی و تنه ی درختان همه با احجام اقلیدسی در تضاد هستند و نه صاف بلکه ناهموار هستند و این بی نظمی را در مقیاس های کوچک نیز به ارمغان می آورند که یکی از مهمترین خصوصیات فراکتال ها همین است .
این بدین معناست که هندسه ی فراکتال بر خلاف هندسه ی اقلیدسی روش بهتری را برای توضیح و ایجاد پدیده هایی همانند طبیعت است .زبانی که این هندسه به وسیله ی آن بیان می شود الگوریتم نام دارد که با اشیا مرکب می توانند به فرمولها و قوانین ساده تری ترجمه و خلاصه شوند.
فرکتال از کلمه ی لاتین فراکتوس به معنی سنگی نامنظم شکسته و خرد شده است، گرفته شده است . اولین بار فرکتال را دکتر ماندلبروت طی نظریه ای که برای مسائل جهان هستی ارائه کرد و در این نظریه عنوان کرد که جهان هستی بعدی مابین ۲۳/۱-۳۴/۱۱ دارد و تمامی پدیده های طبیعی به نوعی فرکتالهایی می باشند در جهان هستی که برای ما ناشناخته اند.
فراکتال ها انواع عناصری هستند که فرم فضایی آنها صاف نیست .بنابراین “نامرتب ” نامیده شده اند و این نامنظمی آنها به طور هندسی در راستای مقیاسهای گوناگون در داخل هرم تکرار می شوند .هر چیز طبیعی در اطراف ما در اصل نوعی فراکتال است . به این سبب که خطوط صاف و پلانها فقط در دنیای ایده آل ریاضی وجود دارد .در کنار این تئوری هر سیستم که بتواند به صورت هندسی متصور و تحلیل شود می تواند یک فرکتال باشد .جهان در فرم فیزیکی ( مادی ) کلی خود پر هرج و مرج ،ناممتد و نامنظم است اما در پس این اولین ذهنیت و گمان یک نوع دستوری نهفته است که منظم و دارای ترکیبی واضح است . بهترین فراکتال ها به ما چه می گویند؟ راه برای تعریف یک فرکتال توجه به صفتها و نشانه های آن است یک فرکتال ” نامنظم ” است . این بدان معنی است که در آن هیچ قسمتی صاف نیست . فرکتال ” خود مشابه ” است و این بدین معنی است که ” اجزا ” شبیه کل هستند .
فراکتال ها به وسیله ی ” تکرار ” توسعه می یابند که به این معنی است که تغییرشکل مکرراً ایجاد شده و وابسته به موقعیت شروع است . خصوصیت دیگر آن این است که فراکتال ” مرکب ” است . اما با این حال می توان آن را به وسیله ی الگوریتم های ساده نشان داد و همچنین بدون معنی نیز نیست که در پس عناصر نامرتب طبیعی یک رشته قوانین موجود است .
Benoît B. Mandelbrot (born 20 November 1924) is a French mathematician, best known as the father of fractal geometry. He فراکتال ها به ما چه می گویند؟ is Sterling Professor of Mathematical Sciences, Emeritus at Yale University; IBM Fellow Emeritus at the Thomas J. Watson Research Center; and Battelle Fellow at the Pacific Northwest National Laboratory. He was born in Poland. His family moved to France when he was a child, and he was educated in France. He is a dual French and American citizen. Mandelbrot now lives and works in the United States.

فرکتال (برخال) چیست؟
ما فرکتال‌ها را هر روز می‌بینیم: درختها ، کوهها، پراکنده شدن برگهای پاییزی روی زمین ، ساحل دریا و …

حالا به این تعریف دقت کنید: فراکتال تصویر هندسی چند جزیی است که می‌توان آن را به تکه هایی تقسیم کرد که انگار هر تکه یک کپی از ” کل ” تصویر است . به سختی بتوان باور کرد که چیزی مانند فراکتال‌ها بتواند اینقدر پیچیده و سخت باشد و در عالی ترین سطوح ریاضی به کار رود و در عین حال بتوان به تصویر یک سرگرمی خوب به آن نگاه کرد. اگر بخواهیم بترسانیمتان می‌توانیم بگوییم که هندسه فراکتالی حرکت اشکال در فضا را ثبت می‌کند و یا ناهمواری دنیا و انرژی و تغییرات دینامیک آن را نشان می‌دهد ! اما راستش را بخواهید فراکتال چیز ساده ای است به سادگی ابرها یا شعله های آتش.
واژه فرکتال از ریشه ای یونانی به معنای ” تکه تکه شده ” و”بخش بخش” آمده است و به نحوی تعریف ریاضی اش را در خود دارد.
اگر بخواهیم از دید کلی به بحث فرکتال نگاه کنیم آن را می توان به ۳ دسته تقسیم بندی کرد :
۱- هندسه فرکتال : در این قسمت از دید ریاضی به فرکتال نگاه می شود که بیشتر مورد توجه ریاضی دان ها قرار گرفته اما پایه های قسمت های بعدی نیز می باشد ، و تا با عناصر اصلی فرکتال و چگونگی ایجاد این فرم آشنا نشویم نمی توان فرم های مختلف و حجم های مختلف را شناسایی کرد.
۲- فرم فرکتال : قسمت دوم این مقاله است ، با توجه به اینکه ،محصول هندسه فرکتال فرمی است که دقیقاً آن مشخصه های هندسی مربوطه را دارد . در این بخش فرم هایی همچون فرم های درخت ، فرم های مندلبرت ، فرمهای موجود در طبیعت ، ایجاد فرم های رندوم (Random fractal) ، خود متشابهی (self similarity) ، فرکتال در نقاشی ( آثار نقاشانی چون جکسون پالاک ) و … مورد بررسی قرار خواهد گرفت .
۳- حجم فرکتال (فرکتال در معماری): نتیجه فرم های مختلف می تواند به یک اثر معماری منتج شود لذا در این بخش حجم های فرکتالی و آثار معماری مطرح می شود .
اشکال فرکتالی چنان با زندگی روزمره ما گره خورده که بسیار جالب است. با کمی دقت به اطراف خود، می توان بسیاری از این اشکال را یافت. از گل فرش زیر پای شما و گل کلم درون مغازه های میوه فروشی گرفته تا شکل کوه ها، ابرها، دانه برف و باران، شکل ریشه، تنه و برگ درختان و بالاخره شکل سرخس ها، سیاهرگ و حتی می توان از این هم فراتر رفت : سطح کره ماه ، منظومه شمسی و ستارگان .
البته در بخش فرم های فرکتال این موضوع بیشتر مشهود است به طوری که بسیاری از فرمهای خلقت دارای ساختاری فرکتال هستند .
این روزها از فراکتالها به عنوان یکی از ابزارهای مهم در گرافیک رایانه ای نیز نام می برند، اما هنگام پیدایش این مفهوم جدید بیشترین نقش را در فشرده سازی فایلهای تصویری بازی می کنند.
فرکتال از منظر هندسی
هندسه فرکتالی یا هندسه فرکتال ها پدیده ایست که چندی پیش پا به دنیای ریاضیات گذاشت.
واژه فرکتال در سال ۱۹۷۶ توسط ریاضیدان لهستانی به نام بنوئیت مندلبرات وارد دنیای ریاضیات شد.
او در سال ۱۹۸۷ پرفسوری خود را در رشته ریاضیات گرفت.
مندلبرات وقتی که بر روی تحقیقی پیرامون طول سواحل انگلیس مطالعه می نمود به این نتیجه رسید که هر گاه با مقیاس بزرگ این طول اندازه گرفته شود بیشتر از زمانی است که مقیاس کوچکتر باشد.
از لحاظ واژه مندلبرات انتخاب اصطلاح فرکتال (fractal) را از واژه لاتین fractus یا fractum (به معنی شکسته ) گرفت تا فراکتال ها به ما چه می گویند؟ بر ماهیت قطعه قطعه شونده که یکی از مشخصه های اصلی این فرم است ،تاکید داشته باشد .
فرهنگستان زبان هم واژه برخال را تصویب کرده و همچنین برای واژه فرکتالی واژه برخالی را تصویب کرده است.
واژه فرکتال به معنای سنگی است که به شکل نامنظم شکسته شده باشد.
اما در هندسه :
فرکتال از دید هندسی به شیئی گویند که دارای سه ویژگی زیر باشد:
۱-اول اینکه دارای خاصیت خود متشابهی باشد یا به تعبیر دیگر self-similar باشد.
۲-در مقیاس خرد بسیار پیچیده باشد.
۳-بعد آن یک عدد صحیح نباشد (مثلاً‌ ۱٫۵).
برای درک بهتر نسبت به مشخصات بالا در فرم هندسی ، بد نیست نمونه ای که شاید تا کنون با آن برخورد کرده باشید مطرح شود :

تصویر بالا ( یک کبوتر ) یک فرم هندسی است که دقیقاً با تعاریفی که در تعریف فرکتال بیان شد، منطبق است یعنی هم دارای خاصیت خود متشابهی و پیچیدگی در مقیاس خرد و نیز عدم داشتن بعد صحیح . تصویر بالا دارای بعدی بین عدد ۲ و ۳ است.
حال به بررسی هر یک در زیر پرداخته شده :
خاصیت خود متشابهی فرکتا لها
شیئی را دارای خاصیت خود متشابهی می گوییم: هر گاه قسمت هایی از آن با یک مقیاس معلوم ، یک نمونه از کل شیئی باشد.
ساده ترین مثال برای یک شیئ خود متشابه در طبیعت گل کلم است که هر قطعه‌ی کوچک گل کلم متشابه قطعه بزرگی از آن است .
همین طور درخت کاج یک شیئ خود متشابه است ،چرا که هر یک از شاخه های آن خیلی شبیه یک درخت کاج است ولی در مقیاس بسیار کوچکتر .همچنین در مورد برگ سرخس نیز چنین خاصیتی وجود دارد.
رشته کوه ها ، پشته های ابر ، مسیر رودخانه ها و خطوط ساحلی نیز همگی مثال‌ها‌یی از یک ساختمان خود متشابه هستند.
نمونه ای از خود متشابهی در شکل زیر نیز دیده می شود.

فراکتال شکل هندسی پیچیده است که دارای جزییات مشابه در ساختار خود در مقیاسهای متفاوت می باشد و بی نظمی در آن از دور و نزدیک به یک اندازه است .
واژه فراکتال مشتق گرفته شده از واژه لاتینی فراکتوس به معنای سنگ است که به شکل نا منظم شکسته و خرد شده .این واژه برای اولین بار توسط بنوت مندل بروت مطرح شد .
جسم فراکتال از دوز و نزدیک یکسان دیده می شود .مثلا وقتی به یک کوه نگاه می کنیم شکلی شبیه به یک مخروط می بینیم که فراکتال ها به ما چه می گویند؟ روی آن مخروطهای کوچکتر و بی نظمی دیده می شود ولی وقتی نزدیک می شویم همین مخروطهای کوچک شبیه کوه هستند و یا شاخه های یک درخت شبیه خود درخت هستند .البته در طبیعت نمونه های اجسام فراکتال فراوان است مثلا ابرها -رودها -سرخس ها و حتی گل کلم از اجسام فراکتال است .و اگر به ساخته های دست بشر هم نگاه کنیم تراشه های سیلیکان و یا مثلث سرپینسکی نیز فراکتال هستند . و در معماری همیشه نباید نیاز بشر را هندسه اقلیدسی تامین کند .گسترش شهرها نمونه آشکاری از فراکتال است.

- اشکال اقلیدسی با استفاده از توابع ایستا تولید می شوند ولی اشکال فرکتال با فرآیندهای پویا تولید می شوند.( فرآیندهای پویا, فرآیندهایی هستند که دارای حافظه می باشند و رفتار آنها به گذشته بستگی دارد.)
- اشکال فرکتال دارای خاصیت خود همانندی است. طول این اشیا بی نهایت است که در فضای محدود, محصور شده اند.
- مجموعه های فرکتال, از زیر مجموعه هایی تشکیل شده اند که این زیر مجموعه ها شبیه مجموعه های بزرگتر هستند.
- هندسه فرکتال دارای ساختارهای ظرفیتی بالاست ولی ظرفیت اطلاعاتی اشیای اقلیدسی بسیار محدود و حاوی اطلاعات تکراری است.
- هندسه فرکتال, بیان ریاضی از معماری طبیعت است.
- هر فرآیند تکراری و پویا باعث ایجاد ساختارهای پیچیده فرکتال نمی شود. مکانیزم تولید چنین ساختارهای پویایی, آشوب است. در حقیقت, فرکتال تصویر ریاضی از آشوب است.

رابطه فراکتال و معماری
مطالعه هندسه باید به طراح کمک کند به درک بهتری از جریان جزئیات در پیرامون ما و جهان طبیعی دست یابد.

خصوصیت فراکتالی یک ترکیب معماری در تسلسل جالب جزئیات است. این تسلسل برای حفظ جذابیت معماری لازم است. هنگامی که شخص به یک ساختمان نزدیک و سپس به آن وارد می شود همیشه باید مقیاس کوچکتر دیگری همراه با جزئیات جذاب وجود داشته باشد تا معنای کلی ترکیب را بیان کند که این یک ایده فراکتال است.
انسانها در روزگار قدیم که در طبیعت می زیستند و مانند انسان دوره مدرن, با طبیعت بیگانه نبودند, معماریشان با نظم طبیعت بود. آنها به این دلیل که در طبیعت رشد میافتند, ضمیر ناخودآگاهشان نیز با نظم طبیعت- یعنی با نظم فراکتال- رشد میافت, در نتیجه مصنوعاتش نیز دارای نطم فراکتال می بود.

به دنبال بیگانگی انسان معاصر با طبیعت و دور شدن ساخته هایش از تشابه با ساختارهای طبیعت, معماران معاصر به دنبال نمود دادن ساختار فراکتال طبیعت در آثارشان هستند. هر چند که این هنوز آغاز راه است ولی ارتباطی جدیدی در زمینه طبیعت و معماری معاصر را نشان میدهد. ارتباطی که انسان مدرن آن را فراموش کرده بود.

سومین تکرار ساختار فراکتال نمودار بیت کوین بیانگر هشدار بازار نزولی

سومین تکرار ساختار فراکتال در نمودار بیت کوین هشداری بر آغاز یک بازار نزولی تا مرز 10.000 دلار خواهد بود. یک تحلیل گر ارز دیجیتال با استفاده از اسکنر تمام اتوماتیک 100eyes نشان داد که بیت کوین در آغاز حرکتی نزولی است. نمودارها نشان می دهند این ارز دیجیتال طی ده روز اخیر ساختاری را ایجاد کرده که بیانگر افزایش قیمت بیت کوین با دلار آمریکا در مدتی کوتاه است که هدف نهایی آن نزول به تراز پایین تر است. او در این خصوص گفت:”مشاهده این الگوها برای من کاملا طبیعی است. روند این الگوها بیان گر ساختار صعودی تقریبا یک ساله به میزان 15% و سپس یک سیر نزولی در دوهفته خواهد بود.”

پس از آن بیت کوین یک کاهش قیمت شدید را تجربه کرد به نوعی که از 11.833 دلار به 11.100 دلار نزول کرد. سپس در روز جمعه یک روند صعودی اتفاق افتاد و قیمت به 11.499 دلار رسید. به گفته تحلیل گران اگر این الگو معتبر شمرده شود احتمالا قیمت تا حدود 11.600 بالا رفته و سپس در مسیر نزولی تا قیمت 11.000 دلار کاهش خواهد یافت.

تمایلی کوتاه به سمت بازار مثبت

با توسعه بررسی عملکرد بیت کوین در چهار ساعت مشخص شد که بیت کوین در بازاری نسبتا مثبت قرار دارد. یک تحلیل گر ارز دیجیتال یک “انحراف مختصر به سمت بالا” را روی نمودار نشان داد. به لحاظ تکنیکی دو نمودار بیانگر روند نزولی بازار بوده حال اینکه اندیکاتور MACD، RSI و استوکاستیک روندی صعودی را نشان می دهند. این نشان دهنده کمرنگ شدن قدرت خرس هاست. همین تغییرات را می توان در نمودار ساعتی بیت کوین با قیمت دلار مشاهده نمود.

اما با بررسی بیشتر بر روی نمودار با ساعات بیشتر متوجه یک انحراف مسیر به سمت بالا می شویم. در یک چهارچوب زمانی یک ساعته بیت کوین پس از رالی حیرت آور 3.858 دلار در ماه مارس به 12.486 دلار در نیمه آگوست یک مسیر اصلاح قیمت را طی کرد. در واقع 200% افزایش قیمت در این مدت کوتاه بسیار برای معامله گران بیت کوین سودآور شد.

فاندامنتال های حمایتی مانند تزریق 70 تریلیون فراکتال ها به ما چه می گویند؟ دلار نقدینگی از سمت بانک مرکزی به درون بازار سبب شد بیت کوین با قیمت دلار بتواند یک مسیر صعودی را تجربه نماید. هم اکنون در این بحبوحه بازار منفی سرمایه داران در انتظار یک عامل جهت ایجاد تغییرات بزرگ در بازار هستند. قابل ذکر است بیت کوین می تواند در همین شرایط روندهای روزانه و هفتگی خود را توسعه ببخشد.

Cameron Winklevoss و Tylor Winklevoss موسسان صرافی آمریکاییGemini پیش بینی می کنند که ارز دیجیتال باید به قیمت 500.000 دلار برسد. آنها می گویند: “تورم در حال آغاز است و پول های ذخیره شده در بانک ها توسط صاحبانشان به بیرون از بانک منتقل می شوند. سرمایه هایی که در بازار سهام بوده و یا صرف خرید ملک شده اند راکد می مانند و پولی که برای خرید بیت کوین وارد بازار می شود بیش از طلا خواهد بود.

دنیای ریاضیات

.

مجموعه نقاطی که بعد برخالی شان متجاوزاز بعد توپولوژی شان باشد.

سیستم های آشوبناک:

تصویرمندل بروت کلاسیک زیر تصویری است که تا حد زیادی در سیستم های برخالی وآشوبناک مشهور بوده است.مجموعه مندل بروت از طریق تکنیک های کلی ایجاد می شود در آن تابع ای از فرمz+1=f(zn)0 استفاده می شود تا دنباله ای از متغیر های مخطلط ایجاد کند.در مورد مجموعه مندل بروت تابع f(zn)=zn^2 +z0 است.این دنباله ها برای هر نقطه آغازین در بعضی بخشهای صفحه (مترجم :مختصاتی ) مخطلط ایجاد می شود.

تقریبا تمام فرمهای استفاده شده برای سازه های ساخته شده بشری ، اشیایی هستند که به هندسه اقلیدسی تعلق دارند، آنها شامل: خطوط ،سطوح، حجمهای مستطیلی، کمانها، استوانه ها، کره ها و. هستند. این عناصر می توانند تعلقاتی به بعد صحیح هر کدام ۱،۲،۳ تقسیم شوند.این مفهوم بعد را می توان هم به صورت شهودی وهم ریاضی توضیح داد. به صورت شهودی ما می گوییم که یک خط یک بعدی است چونکه فقط برای تعریف هر نقطه بر آن یک عدد لازم است.آن عدد می تواند فاصله از ابتدای خط باشد. این تعریف به خوبی برای تعریف محیط دایره ، منحنی یا مرز هر شی بکار می رود.

یک سطح دو بعد دارد چونکه ما برای تعریف هر نقطه در سطح آن به دو نقطه نیاز داریم. راههای زیادی برای ترتیب و تعریف این دو عدد وجود دارد (مترجم: منظور تعریف نقاط بر سطح بر اساس مختصات قطبی ویا مختصات کارتزین (دکارتی) است)ولی ما به صورت طبیعی یک سیستم مختصاتی متعامدی ایجاد می کنیم. مثالهای دیگری از اشیای دو بعدی سطح کره یا سطح پیچ خورده اختیاری هستند.

حجم بعضی از اشیای جامد بر اساس همان قاعده بالا سه بعدی است. سه عدد نیاز است تا نقطه ای بر این شی تعریف شود

نوشته های ریاضی زیادی از بعد بنا نهاده می شود که چگونه اندازه یک شی تغییر می کند همانطور که بعد خطی افزایش می یابد. در یک بعد یک پاره خط بررسی می شود..اگر بعد خطی پاره خط دو برابر شود سپس به طور بدیهی طول (اندازه مشخص) خط دوبرابر شده است. در حالت دو بعدی به عنوان مثال اگر ابعاد خطی مستطیل دو برابر شود سپس به اندازه مشخصی، مساحت بر اساس فاکتور ۴ افزایش می یابد. در حالت سه بعدی اگر بعد خطی جعبه ای( مترجم: مکعبی) دو برابر شود سپس حجم بر اساس فاکتور ۸ افزایش می یابد.این رابطه بین بعد D ،مقیاس گذاری خطی L و نتیجه افزایش در اندازه S می تواند به صورت زیر خلاصه و نوشته شود:

این فقط آنچه که ما از تجربه روزمره مان می شناسیم را از لحاظ ریاضی به ما می گوید. به عنوان مثال اگر ما شی دو بعدی را مقیاس گذاری کنیم سپس مساحت از طریق مربع مقیاس گذازی افزایش می یابد. اگر ما شی سه بعدی را مقیاس گذاری کنیم حجم از طریق مکعب فاکتور مقیاس افزایش می یابد. دوباره نویسی وتغییر در معادله بالا عبارتی را وابسته به بعد حاصل می دهد که چگونه اندازه، تغییرمی کند همانطور که تابع خطی مقیاس گذاری می شود:

در مثال بالا ارزش D یک عدد صحیح است ۱،۲،۳ وابسته به بعد هندسی است. این رابطه برای همه شکل های هندسی محفوظ است.با این وجود اشکال زیادی وجود دارند که بعد صحیح را بر اساس قاعده ای که در بالا آورده شده نه براساس شهودی و نه ریاضی تایید نمی کنند.به خاطر همین اشکالی وجود دارد به طور مثال به صورت منحنی فراکتال ها به ما چه می گویند؟ فراکتال ها به ما چه می گویند؟ ظاهر می شوند ولی نمی توان آنها را به صورت یک عدد تنها نشان داد.اگر فرمول مقیاس گذاری که پیشتر بکار بردیم برای بعد این اشکال بکار بریم عدد صحیحی بدست نمی آید.اشکال وجود دارند که در سطح واقع شده اند اگرآنها از طریق فاکتور L مقیاس گذاری شوند مساحت از طریق مربع L افزایش نمی یابد بلکه از طریق مقدار غیر صحیح فراکتال ها به ما چه می گویند؟ افزایش می یابد.این هندسه ها برخال ها نامیده می شوند! یکی از ساده ترین اشکال برخالی برفدانه فون کوخ است. روش ایجاد این شکل جایگزینی مکرر هر پاره خط به دنبال چهار پاره خط است.

این فرایند با یک پاره خط ساده آغاز می شود وتا آخر ادامه می یابد. چندین تکرار آغازین این فرایند در زیر نشان داده شده:

این نشان می دهد که چگونه قانون خیلی ساده تولید این شکل می تواند بعضی ویژگیهای غیر معمول (برخالی) ایجاد کند.بی شباهت به اشکال اقلیدسی، این شکل جزئیاتی در تمام سطوح دارد.اگر کسی شکل اقلیدسی مثلا محیط دایره ای را بزرگ کند اون شکل متفاوتی خواهد شد یعنی به صورت خط مسقیمی می شود.اگر ما این برخال را بزرگتر وبزرگتر کنیم جزییات آشکار می شود، جزئیات خود متشابه است یا ترجیحا آن دقیقا خود متشابه است.

مندلبروت ست

فراکتال ها به ما چه می گویند؟

برای انتقال بهتر حس و حال داستان به موسیقی بالا در هنگام خواندن گوش کنید :)

در وسط هلهله خواب رنگارنگ سیر می کردم. گویی قرص توهم زا مصرف کرده بودم. همه چیز رنگی و نئونی می نمایانید مثل وقتی که نقاش دیوانه ای سطل های رنگ ها را این ور آن ور پرت کند. صداهای های مختلفی هم می شنیدم مثل صدای بع بع کردن گوسفندان ، صداهای بلند خنده ، موسیقی های محلی آفریقایی و یا چک چک قطره های آّب. سوار بر سرسره ای طولانی بودم که یک آن تمام شد و من در جا لرزیدم . می دانم که همه این ها عوارض مصرف زیاد کافئین و قهوه است . وقتی که هوشیاری ام کامل شد به ساعت نگاه کردم : ساعت 7:10 بود. خوب دوباره نگاه کردم ، درست می دیدم. بدون اینکه تختم را مرتب کنم شروع کردم به لباس پوشیدن. من هر روز ساعت شش و نیم در راه مدرسه بودم و این بار نزدیک به چهل دقیقه تاخیر داشتم . نمی دانم شما کنکور داده اید یا نه ولی از وقتی که کنکوری شده ام کل ساعات بدنم به هم ریخته است. حتی بعضی از روز ها که از خواب پا می شوم نمی توانم تشخیص بدهم که صبح است یا غروب !

به این اشکال در ریاضیات فراکتال گویند !

والدینم خانه ای نقلی در پیلوت را در اختیار من قرار داده اند تا هم خودشان راحت باشند و هم من. پس در اتاقی مجزا از آنها می خوابیدم . خلاصه لباس هایم را پوشیدم دیگر وقت صبحانه خوردن نداشتم . پس فورا از خانه خارج شدم ، هر لحظه قدم هایم را بزرگ و بزرگتر می کردم تا جایی که بعضی وقت ها می دویدم. تقریبا هر دو سه دقیقه به ساعت نگاه می کردم . طی محاسبات من مسیر مدرسه تا خانه 25 دقیقه طول می کشید البته این در حالت عادی و نرمال بود. امروز دیگر باید خیلی تند تر راه می رفتم . هر که لحظه قیافه مدیر عینکی مان را جلوی در مدرسه تصور می کردم لرزه ای به تنم می افتاد .

راه همیشگی را دنبال کردم چون مسیر نزدیک تری نبود. گرچه می توانستم تاکسی بگیرم ولی وقتی پس انداز جیبی ام را دیدم پشیمان شدم زیرا که آن پول را برای کاری ذخیره کرده بودم . پیاده روی آن هم در هوای بسیار سرد. در مسیر من دو تا پارک وجود دارد. هر روز وقتی از آنجا عبور می کردم ، درختان را مورد کنکاش قرار می دادم . و یا وقتی که از کنار استخر رد می شدم چند لحظه را به تماشای ماهی هایش می ایستادم ولی امروز اصلا وقتی برای اینکار نداشتم فقط یا به ساعت نگاه می کردم یا فکر این بودم که وقتی دیر برسم به مدیر چه بگویم . در واقع برای خودم هم عجیب بود که مگر دیشب چه ساعتی خوابیده بودم ؟ خوب دلیلش واضح بود : یک غول مرحله آخر به نام کنکور . خیلی از وقت ها شده بود به خاطر این غول در گوشه ای بنشینم زار زار گریه کنم . همه مان در مشکلات به جایی رسیده ایم که مثلا خودمان را دشنام بدهیم . یا آنقدر نا امید بشویم که دیگر بزنیم به سیم آخر . و یا از این نامید بشویم که چرا هر چه تلاش می کنیم نتیجه نمی دهد . این مشکلات ، اعصاب و روان یک کنکوری را تشکیل می دهد .

بی دقت مسیر را طی می کنم ، امروز خلوت تر از هروز است ولی یک قانون نانوشته می گوید : وقتی یک از وضعیت ها به هم می خورد تقریبا تمامی آنها شروع می کنند به عوض شدن . مثلا وقتی دیرت شده باشد کاری جدید پیش می آید که بیشتر دیرت می شود . ولی مغازه های سوپر مارکت باز اند . در این هوای سرد واقعا سفر کردن حماقت است ولی خوب خیلی ها زمستان را بیشتر از تابستان دوست دارند. کم کم نزدیک می شوم . ولی هر لحظه به ساعت نگاه می کنم . نگاه می کنم و اتقاق های زنده را در ذهنم تجسم می کنم مثلا می گویم الان است که دبیر وارد کلاس شود. یا الان است که حاضر و غایب کند.

دیگر چیزه نمانده ، روبروی کوچه ای قرار دارم که در انتهایش مدرسه ماست. به داخل می روم. به پایان می رسم ولی.

گویی آب سردی رویم ریخته اند. درب مدرسه بسته است. دوباره به ساعت نگاه می کنم علامت FRI به چشم می خورد علامتی که مخفف روز جمعه است. و من در تمام طول مسیر بارها به ساعتی نگاه کردم که آشکارا این علامت را نشان می داد .

حال دیگر برایم مشخص می شود که چرا دیشب دیر خوابیدم و یا اینکه چرا مسیر خیلی خلوت است . با خرفتی تمام مسیر را بر می گردم دیگر برایم اهمیت ندارد که دیر برسم یا زود . خیلی بد است وقتی که کاری را بی عاید و نتیجه به پایان می برید آن هم وقتی که بیشترین تلاش خود را کرده اید. این را می توانید از فرهاد شیرین بپرسید . یاد این می افتم که می خواستم تاکسی بگیرم و پس اندازم را خرج کنم . یاد تصور درباره ی حاضر و غایب کردن می افتم یا بهانه هایی که برای مدیرمان تراشیده بودم . یاد سرمای که تحمل کردم و بینی سرخ شده خودم می افتم .

عکسی از پارک دانشجو

دوباره از مسیر پارک ها می آیم . این دفعه به چیز هایی دقت می کنم که حتی قبلا هم دقت نمی کردم . دو پارک با خیابانی جدا می شوند . پارک اول دانشجو نام دارد .این پارک مثل آدم پیری توسط چنار های تنومندی پر شده است . بزرگی این چنارها دل پارک را سیاه و گرفته کرده اند اما در پارک دیگری که بلوار نام دارد چنار های تنومند وجود ندارند . بلوار هنوز جوان است و دل روشن . چند روزی که بگذرد دل بلوار هم تاریک می شود . زمین پارک دانشجو را مانند نقشه ها کروکی کشیده اند . در وسط هر منطقه هم فامیلی نوشته شده است. با این که هر روز از این مسیر می گذرم اما این متون کم رنگ را هیچ وقت ندیده بودم . چند قدمی که می روم یاد این می افتم که دست فروشان در شب های تابستان اینجا جمع می شدند و شب بازاری درست می شد. این کروکی و اسم ها هم برای همان شب بازار است. وقتی از کنار استخر بلوار می گذرم متوجه تکه یخ های روی آن می شوم . کبوتری هم بالای درختی پف کرده. حیوانکی از سرما می لرزد.در کنار این دو پارک کمربندی وجود داردکه ماشین های بزرگی در آن تردد می کنند . برای اولین بار دلم می خواهد سوار یکی از این کامیون ها بشوم و به سفری دور و درازی بروم.

پ.ن : خیلی از چیز ها بستگی به نوع نگرش ما دارند . شما چیز را می بینید و می فهمید که خود شما بخواهید. تا وقتی که به دنبال ثروت باشیم همه افراد و چیز ها را به صورت اسکناس می بینیم . تا وقتی که نخواهیم زیبایی را ببینیم آن را در زیباترین چیز ها هم پیدا نخواهیم کرد . تا وقتی که از حال و کنون مان احساس رضایت نکنیم هر چقدر هم تلاش کنیم به رضایت نخواهیم رسید . تحقیقات نشان می دهد شرایط فقط 10 % از احساسات ما را شکل می دهند . 90 % از احساسات بسته به نوع نگرش ماست. اگر حتی در سختی ها فردی خشنود باشیم احساس رضایت و موفقیت ما به صورت عملی بالا می رود .خیلی از ما هم خودمان را در گوشه ای حبس کرده و به بدبخت بودن خودمان فکر می کنیم . در بیشتر وقت ها این فکر تصور غلطی است فقط در ورای مغز ما شکل گرفته و در واقعیت ما بهتر از چیزی هستیم که تصور می کنیم . یا بالعکس : گاهی اوقات هم ما فکر می کنیم در امری توانایی بالایی داریم ولی وقتی حرف عمل می شود کارایی کمتر از تصور خودمان داریم . افراد نسبت به نگرششان قضاوت می شوند .